Fläche zwischen zwei Funktionen

Stell dir vor, zwei Graphen im Koordinatensystem kreuzen sich und schließen eine Fläche ein – ähnlich wie bei einem eingepackten Bonbon. Wenn du wissen willst, wie groß diese Fläche ist, hilft dir ein genialer Trick der Integralrechnung . Das Ziel ist es, den exakten Flächeninhalt A zu berechnen, der von den Graphen zweier Funktionen f(x) und g(x) auf einem bestimmten Abschnitt (Intervall) eingeschlossen wird. Um den Flächeninhalt zwischen den Graphen zweier Funktionen f(x) und g(x) im Intervall [a; b] zu berechnen, nutzt man das bestimmte Integral. Der Grundgedanke ist einfach: Du ziehst die Fläche unter der unteren Funktion von der Fläche unter der oberen Funktion ab. Zusammengefasst lautet die Formel: A = int {a}^{b} ( text{obere Funktion} - text{untere Funktion}) , dx Falls du vorab nicht weißt, welche Kurve oben liegt, ist das kein Problem! Berechne einfach das Integral der Differenz f(x) - g(x) und setze das Ergebnis in Betragsstriche. Da Flächeninhalte immer positiv sind, liefert dir der Betrag garantiert das richtige, positive Ergebnis: A = left| int {a}^{b} (f(x) - g(x)) , dx right| Dabei gilt: A ist der gesuchte Flächeninhalt. f(x) und g(x) sind die beiden Begrenzungsfunktionen. a und b sind die x -Koordinaten der Schnittpunkte (die Integrationsgrenzen). Wir berechnen die eingeschlossene Fläche zwischen zwei Funktionen: f(x) = frac{1}{2}x^2 (nach oben geöffnete Parabel) g(x) = 3x (ansteigende Gerade) Hier siehst du die eingeschlossene Fläche A grafisch dargestellt: