Fläche zwischen Funktion und x-Achse

Wenn wir die tatsächliche (geometrische) Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der x -Achse berechnen wollen, stehen wir vor einer mathematischen Besonderheit: Flächenstücke oberhalb und unterhalb der x -Achse können sich gegenseitig aufheben. Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad erst 3 text{ km} geradeaus nach vorne (positive Richtung) und direkt im Anschluss 3 text{ km} rückwärts zurück (negative Richtung): Deine Bilanz ist 0 text{ km} : Am Ende stehst du wieder genau am Startpunkt. In der Mathematik entspricht das dem orientierten Flächeninhalt (dem normalen Integral). Flächen unterhalb der x -Achse werden dabei negativ gewertet und wie ein Rückweg abgezogen. Deine tatsächlich gefahrene Strecke ist 6 text{ km} : Hier ignorierst du die Richtung. Das entspricht dem tatsächlichen Flächeninhalt . Jedes Flächenstück wird als positiver Wert addiert. Dieses Prinzip veranschaulicht der Graph der Funktion f(x) = x : Rote Fläche A 1 (unter der Achse): Das Integral liefert einen negativen Wert: int {-1}^{0} x , mathrm{d}x = -0{,}5 . Grüne Fläche A 2 (über der Achse): Das Integral liefert einen positiven Wert: int {0}^{1} x , mathrm{d}x = 0{,}5 . Orientierte Fläche (Integralbilanz): int {-1}^{1} x , mathrm{d}x = -0{,}5 + 0{,}5 = 0 . Tatsächliche Fläche: Wir nehmen die Beträge der Teilflächen: |-0{,}5| + |0{,}5| = 0{,}5 + 0{,}5 = 1 . Um die tatsächliche Fläche in einem Intervall [a; b] zu bestimmen, gehst du systematisch vor: Um die tatsächliche Gesamtfläche A aus den einzelne