Faktorregel: Stammfunktion

Worum geht's hier eigentlich? Stell dir vor, du hast eine Funktion, bei der eine einfache Zahl als konstanter Faktor vor dem eigentlichen Term steht, zum Beispiel f(x) = 2 cdot x^3 . Die Faktorregel ist ein super Werkzeug, das uns das „Aufleiten“ (also das Suchen der Stammfunktion) deutlich vereinfacht. Der Grundgedanke ist unkompliziert: Den Faktor kannst du für die Rechnung erst einmal ignorieren und am Ende einfach wieder davormultiplizieren. Die Stammfunktion bestimmst du nur für den Teil, der die Variable x enthält. Visuell bedeutet das: Wenn du die Fläche unter einer gestreckten Funktion berechnest, wird auch die Fläche um genau diesen Faktor gestreckt. Die Faktorregel wird benötigt, um eine Stammfunktion für eine Funktion der folgenden Form zu bestimmen: f(x) = c cdot g(x) Dabei ist c eine konstante reelle Zahl (der Faktor) und g(x) der Funktionsteil, der von x abhängt. Die Stammfunktion F(x) lautet dann: F(x) = c cdot G(x) wobei G(x) eine Stammfunktion von g(x) ist. Kurzregel: Der konstante Faktor c bleibt beim Aufleiten als multiplikativer Faktor unverändert erhalten. Wir starten mit einem einfachen Polynom: f(x) = 2x^3 Hier ist der Faktor c = 2 und der Funktionsteil ist g(x) = x^3 . Schritt-für-Schritt-Weg: 1. Faktor stehenlassen: Wir merken uns die 2 für später. 2. Rest aufleiten: Wir bilden die Stammfunktion von g(x) = x^3 mit der Potenzregel (Exponent um 1 erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen): G(x) = frac{1}{3+1}x^{3+1} = frac{1}{4}x^4 3. Zusammenführen