Exponentialfunktion

Eine Exponentialfunktion beschreibt Prozesse, bei denen sich ein Anfangsbestand pro Zeitschritt immer um denselben Prozentsatz (bzw. um denselben Faktor ) vervielfacht oder vermindert. Egal ob sich Bakterien jede Stunde verdoppeln, ein radioaktives Element zerfällt oder dein Erspartes durch Zinsen wächst – all diese Prozesse verlaufen nicht gleichmäßig (linear), sondern beschleunigt (exponentiell). Die allgemeine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion lautet: f(x) = c cdot a^x Dabei bedeuten die einzelnen Bestandteile: f(x) (oder y ): der Bestand nach der Zeit x . c : der Anfangswert (Startwert für x = 0 ), denn f(0) = c cdot a^0 = c cdot 1 = c . (Es gilt c neq 0 ). a : die Basis (Wachstums- oder Zerfallsfaktor). Es gilt immer a 0 und a neq 1 . Wachstum ( a 1 ): Der Bestand nimmt zu. Zerfall ( 0 0 ): Definitionsbereich: D = mathbb{R} (jede beliebige Zahl darf für x eingesetzt werden). Wertebereich: W = mathbb{R}^+ = ]0; infty[ (die Funktionswerte sind immer echt positiv. Der Graph nähert sich der x-Achse als Asymptote an, berührt oder schneidet sie aber nie). Am Verlauf der Graphen für den Standardfall c=1 siehst du: Der rote Graph f(x) = 2^x steigt für a = 2 1 nach rechts hin immer steiler an ( exponentielles Wachstum ). Der grüne Graph g(x) = 0{,}5^x fällt für a = 0{,}5 Anhand der folgenden Beispiele kannst du die Anwendung Schritt für Schritt nachvollziehen. Leichtes Beispiel: Bakterienwachstum In einer Petrischale befinden sich zu Beginn 10 Bakterien. Ihre Anzahl ve