Erwartungswert

Stell dir vor, du wirfst eine Münze 100-mal oder schießt 10-mal auf ein Tor. Wie viele Treffer wirst du im Durchschnitt erzielen? Genau das gibt der Erwartungswert an. Er zeigt uns, welches Ergebnis wir bei einer häufigen Wiederholung des Zufallsexperiments im Mittel erwarten können. Für ein binomialverteiltes Zufallsexperiment (bei dem es bei jedem Versuch nur „Erfolg“ oder „Misserfolg“ gibt) lässt sich der Erwartungswert E(X) – oft auch mit dem griechischen Buchstaben mu (gesprochen „mü“) abgekürzt – sehr einfach berechnen: E(X) = mu = n cdot p Dabei gilt: n ist die Anzahl der Versuche (z. B. wie oft gewürfelt oder wie viele Bauteile untersucht werden). p ist die Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem einzelnen Versuch (als Dezimalzahl zwischen 0 und 1 , z. B. 0{,}7 statt 70 , % ). Beispiel: Münzwurf Wir werfen eine faire Münze 10 -mal ( n = 10 ). Die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ liegt bei 50 , % ( p = 0{,}5 ). Wie oft erhalten wir im Durchschnitt „Kopf“? Rechnung: E(X) = n cdot p = 10 cdot 0{,}5 = 5 Wir erwarten bei 10 Würfen also im Mittel genau 5 -mal „Kopf“. Beispiel: Elfmeterschießen Du schießt 10 -mal aufs Tor ( n = 10 ) mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von 70 , % ( p = 0{,}7 ). Wie viele Tore sind zu erwarten? Rechnung: E(X) = n cdot p = 10 cdot 0{,}7 = 7 Du kannst also im Durchschnitt mit 7 Toren rechnen. Die binomiale Verteilung zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit für exakt 7 Treffer (blau markiert) am höchsten ist. Beispiel: Qualitätskontrolle in der Produktion Ei