Der Hauptsatz

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (oft kurz HDI genannt) ist das fundamentale Bindeglied der Analysis. Er schlägt die Brücke zwischen zwei scheinbar völlig verschiedenen mathematischen Werkzeugen: dem Ableiten (Differentialrechnung) und dem Integrieren (Integralrechnung). Diese beiden Operationen verhalten sich wie Umkehroperationen zueinander – ganz ähnlich wie Plus und Minus oder Multiplikation und Division. Das Hauptziel des HDI ist es, die Berechnung von krummlinig begrenzten Flächeninhalten unter Funktionsgraphen extrem zu vereinfachen, indem wir komplizierte Grenzwertprozesse durch das einfache Finden einer Stammfunktion ersetzen. Der Hauptsatz besagt: Wenn eine Funktion f auf einem Intervall [a; b] kontinuierlich (stetig) verläuft und F eine zugehörige Stammfunktion von f ist (es gilt also F'(x) = f(x) ), dann lässt sich das bestimmte Integral und damit der Flächeninhalt wie folgt berechnen: int {a}^{b} f(x) , dx = [F(x)] {a}^{b} = F(b) - F(a) f(x) : Die zu integrierende Funktion (der Integrand). F(x) : Eine Stammfunktion von f(x) . Es gilt die Beziehung F'(x) = f(x) . a : Die untere Integrationsgrenze (Intervallstart). b : Die obere Integrationsgrenze (Intervallende). int {a}^{b} f(x) , dx : Das bestimmte Integral von a bis b . Es gibt den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f und der x -Achse an. Das Vorgehen in der Praxis: 1. Bestimme eine Stammfunktion F(x) . (Die Integrationskonstante +C fällt bei der Subtraktion weg, weshalb wir