Ausklammern

Wenn du eine quadratische Gleichung lösen möchtest, in der jedes Glied ein x enthält (wie zum Beispiel x^2 + 2x = 0 ), hilft dir das Ausklammern (auch Faktorisieren genannt) blitzschnell weiter. Dabei suchst du nach einem gemeinsamen Teiler – meistens ist das einfach das x – und ziehst ihn vor eine Klammer. So machst du aus einer Summe ein Produkt und kannst die Lösungen direkt ablesen! Hier siehst du grafisch, wie die Nullstellen (die Lösungen der Gleichung) der Funktion f(x) = x^2 + 2x bei x = -2 und x = 0 liegen. Das Ausklammern hilft uns, genau diese beiden Punkte ohne komplizierte Formeln zu berechnen: Für quadratische Gleichungen ohne "nackte" Zahl (ohne absolutes Glied) gilt: x^2 + b cdot x = x cdot (x + b) = 0 Mithilfe des Satzes vom Nullprodukt wissen wir: Ein Produkt wird genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Das liefert uns sofort zwei einfache Fälle: 1. Erster Faktor ist Null: x 1 = 0 2. Zweiter Faktor (die Klammer) ist Null: x + b = 0 ; Rightarrow ; x 2 = -b Aufgabe: Löse die Gleichung x^2 + 3x = 0 . Lösung: 1. x ausklammern: Wir ziehen ein x vor die Klammer. x cdot (x + 3) = 0 2. Satz vom Nullprodukt anwenden: Erste Lösung: x 1 = 0 Zweite Lösung (Klammer gleich 0 setzen): x + 3 = 0 quad vert -3 x 2 = -3 Die Lösungsmenge ist: mathbb{L} = {-3; 0 } . Aufgabe: Löse die Gleichung 2x^2 - 8x = 0 . Lösung: Hier können wir sogar 2x ausklammern, da die 2 in beiden Teilen steckt. 1. 2x ausklammern: 2x cdot (x - 4) = 0 2. Satz vom Nullprodukt anwende