Asymptote - waagrecht

Worum geht's? Eine waagerechte Asymptote ist eine gerade, waagerechte Linie, der sich der Graph einer Funktion im Unendlichen immer weiter annähert. Stell sie dir wie eine „Leitplanke“ für den Graphen vor: Je weiter du auf der x-Achse nach links (ins negativ Unendliche) oder nach rechts (ins positiv Unendliche) gehst, desto dichter schmiegt sich der Graph an diese Linie an, ohne sie im Unendlichen jemals ganz zu verlassen oder zu überschreiten. Um die waagerechte Asymptote y = c zu berechnen, untersuchen wir das Verhalten der Funktionswerte, wenn x unendlich groß oder unendlich klein wird. Wir berechnen den Limes (Grenzwert) für x to infty und x to - infty : lim {x to infty} f(x) = c quad text{oder} quad lim {x to - infty} f(x) = c Bei gebrochenrationalen Funktionen (Brüche, bei denen x im Zähler und im Nenner steht) lässt sich die Asymptote extrem schnell mit einem Trick bestimmen. Dazu vergleichen wir den Zählergrad (ZG) (höchster Exponent im Zähler) mit dem Nennergrad (NG) (höchster Exponent im Nenner): Fall 1: Zählergrad Nennergrad (z. B. f(x) = frac{x^2+1}{x-1} ) Der Zähler wächst schneller als der Nenner. Die Funktionswerte werden unendlich groß oder klein. Es gibt keine waagerechte Asymptote . Beispiel 1: Direktes Ablesen Gegeben ist die Funktion: f(x) = frac{1}{x-2} + 3 Wenn wir für x eine riesige Zahl einsetzen (z. B. 1 ,000 ), wird der Bruch frac{1}{1000-2} = frac{1}{998} winzig klein (fast null). Übrig bleibt fast nur die +3 . Mathematisch korrekt schreiben wir das