Ähnlichkeit

Wenn du ein Foto auf deinem Smartphone mit zwei Fingern größer ziehst (zoomst), verändert sich die Form des Bildes nicht, sondern nur seine Größe. In der Mathematik nennen wir das Ähnlichkeit . Zwei Figuren sind zueinander ähnlich, wenn sie in ihrer Form völlig übereinstimmen, aber unterschiedlich groß sein können. Du nutzt Ähnlichkeit im Alltag beim Lesen von Landkarten, beim Bauen von Modellen oder beim Zeichnen von maßstabsgetreuen Skizzen. Zwei geometrische Figuren sind zueinander ähnlich (Symbol: sim ), wenn sie zwei Bedingungen erfüllen: 1. Gleiche Winkel: Alle einander entsprechenden Winkel sind gleich groß. 2. Verhältnis der Seiten: Wenn du die Längen einander entsprechender Seiten durcheinander teilst, kommt immer derselbe Wert k heraus. Diesen Wert nennt man Ähnlichkeitsfaktor (oder Streckungsfaktor). Für zwei ähnliche Dreiecke gilt also: alpha = alpha' quad text{und} quad beta = beta' quad text{und} quad gamma = gamma' frac{a'}{a} = frac{b'}{b} = frac{c'}{c} = k a, b, c sind die Seiten des Original-Dreiecks. a', b', c' sind die entsprechenden Seiten des veränderten Dreiecks. Ist k 1 , wird die Figur vergrößert . Ist 0 Ein Foto mit den Seitenlängen a = 10 text{ cm} und b = 15 text{ cm} soll auf Postergröße vergrößert werden. Das Poster soll eine Breite von a' = 50 text{ cm} haben. Wie lang muss die andere Seite b' sein, damit das Bild nicht verzerrt wird? Lösung: Zuerst berechnen wir den Ähnlichkeitsfaktor k : k = frac{a'}{a} = frac{50 text{ cm}}{10 text{ cm}} = 5 D