Abstand Punkt-Ebene (Lotgerade)

Worum geht's? Wir wollen den kürzesten Abstand von einem Punkt P zu einer Ebene E bestimmen. Diese Methode hat den großen Vorteil, dass wir nicht nur den Abstand selbst, sondern auch den genauen Punkt auf der Ebene finden, der am nächsten zu unserem Ausgangspunkt liegt. Um den Abstand zu berechnen, legen wir nun vom Punkt aus eine Lotgerade an die Ebene, das heißt, eine Gerade, die die Ebene orthogonal (im rechten Winkel) schneidet. Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene ist der Lotfußpunkt F . Der gesuchte Abstand ist dann einfach die Länge der Strecke zwischen dem ursprünglichen Punkt P und diesem Lotfußpunkt F . Danach bestimmen wir den Durchstoßpunkt (Schnittpunkt einer Geraden und einer Ebene) und bestimmen den Abstand zum ursprünglichen Punkt. Der Grundgedanke ist ein 3-Schritte-Plan. Gegeben ist eine Ebene in Koordinatenform E: n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 = b und ein Punkt P(p 1|p 2|p 3) . Hinweis: Falls die Ebene in Parameterform angegeben ist, so muss der Normalenvektor zunächst mit dem Kreuzprodukt der Spannvektoren bestimmt werden, um die Ebene in die Koordinatenform umzuwandeln. Schritt 1: Lotgerade aufstellen Wir erstellen eine Lotgerade g , die senkrecht zur Ebene steht. Dazu nutzen wir den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor der Geraden und den Punkt als Stützvektor . g: vec{x} = vec{p} + t cdot vec{n} Dabei ist vec{p} der Ortsvektor des Punktes P und vec{n} der Normalenvektor der Ebene E . Schritt 2: Schnittpunkt (Durchstoßpunkt) berechnen Dafü