Ableitung: e-Funktion

Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e^x (e-Funktion) nimmt in der Analysis eine ganz besondere Rolle ein: Ihre Ableitung ist identisch mit der Funktion selbst! Das macht das Ableiten extrem einfach. Diese Eigenschaft wird bei der Kurvendiskussion, beim Lösen von Wachstumsaufgaben und in vielen Anwendungen der Physik und Wirtschaft benötigt. An jedem Punkt des Graphen von f(x) = e^x entspricht der Funktionswert f(x) exakt der Steigung des Graphen an dieser Stelle. 1. Die Grundregel Die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion ist die Funktion selbst: f(x) = e^x quad implies quad f'(x) = e^x 2. Verkettete e-Funktionen (Kettenregel) Steht im Exponenten eine kompliziertere Funktion g(x) statt eines einfachen x , musst du die Kettenregel anwenden („äußere Ableitung mal innere Ableitung“). Da die e-Funktion beim Ableiten reproduziert wird, multiplizierst du die Funktion einfach mit der Ableitung des Exponenten (der „inneren Ableitung“): f(x) = e^{g(x)} quad implies quad f'(x) = g'(x) cdot e^{g(x)} Aufgabe: Leite die Funktion f(x) = e^{2x} ab. Lösung: Der Exponent ist eine eigene kleine Funktion im Kopf: Innere Funktion: g(x) = 2x mit der Ableitung g'(x) = 2 . Nach der Kettenregel multiplizieren wir die ursprüngliche Funktion mit dieser inneren Ableitung: f'(x) = 2 cdot e^{2x} Aufgabe: Bestimme die erste Ableitung von f(x) = 4e^{x^2+1} . Lösung: Hier kombinieren wir die Faktorregel und die Kettenregel: Der konstante Faktor 4 bleibt beim Ableiten einfach erhalten. Innere F