Wurzel

Worum geht es hier? Du kennst das Wurzelziehen von normalen, reellen Zahlen, zum Beispiel ist die Wurzel aus 9 die Zahl 3 (und auch -3), denn 3 cdot 3 = 9 . Wir wollen uns nun ansehen, wie das bei komplexen Zahlen funktioniert. Es stellt sich heraus, dass jede komplexe Zahl (außer 0) genau zwei Quadratwurzeln hat. Unser Ziel ist es zu lernen, wie wir diese beiden Wurzeln finden können, besonders wenn die komplexe Zahl in ihrer Polarform oder trigonometrischen Form gegeben ist. Um die Wurzeln einer komplexen Zahl z zu ziehen, ist die Darstellung in Polarform am praktischsten. Eine komplexe Zahl z wird dabei durch ihren Betrag r (den Abstand vom Ursprung) und ihren Winkel phi zur positiven reellen Achse beschrieben. z = r cdot ( cos phi + i cdot sin phi) quad text{oder in der Eulerform:} quad z = r cdot e^{i cdot phi} Wenn eine komplexe Zahl z in dieser Form gegeben ist, finden wir ihre beiden Quadratwurzeln w 1 und w 2 so: 1. Wurzel: w 1 = sqrt{r} cdot left( cos left( frac{ phi}{2} right) + i cdot sin left( frac{ phi}{2} right) right) oder w 1 = sqrt{r} cdot e^{i cdot frac{ phi}{2}} 2. Wurzel: w 2 = sqrt{r} cdot left( cos left( frac{ phi + 360^ circ}{2} right) + i cdot sin left( frac{ phi + 360^ circ}{2} right) right) oder w 2 = sqrt{r} cdot e^{i cdot frac{ phi + 360^ circ}{2}} Kurz gesagt: Wir ziehen die Wurzel aus dem Betrag r und halbieren den Winkel phi . Für die zweite Wurzel addieren wir vor dem Halbieren eine volle Umdrehung ( 360^ circ ) zum Winkel. Wir starten direkt