Komplexe Zahlen

Aufgaben mit Lösungsweg

1. Anzahl reeller Lösungen: Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichung: $$x^2 + 4x + 5 = 0$$ Gib die Anzahl der reellen Lösungen an.
2. Anzahl reeller Lösungen: Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichung: $$ x^4 - 2x^2 - 3 = 0 $$ Trage die Anzahl der reellen Lösungen ein.
3. Imaginärteil komplexer Term: Berechne mit den folgenden komplexen Zahlen $z_1 = 3 + 2i$, $z_2 = 1 - \sqrt{3} \cdot i$, $z_3 = i$ den Term $-2\overline{z_1} - \frac{|z_2|}{z_3}$ und gib das Endergebnis in der kartesischen Form an. Trage den Imaginärt
4. Imaginärteil komplexer Zahl: Nimm Dir ein (kariertes) Blatt Papier und zeichne die folgenden komplexen Zahlen als Punkte in die Gauß’sche Zahlenebene: $z_1 = 4 + 3i$ $z_2 = 5$ $z_3 = -3 - i$ $z_4 = -2i$ Schreibe den Imaginärteil von $z_3$ in das Lös
5. Imaginärteil komplexer Zahl: Gegeben ist die komplexe Zahl $z = \frac{\overline{6-i}}{-1+i}$. Berechne $\text{Re}(z)$ und $\text{Im}(z)$. Trage $\text{Im}(z)$ ein.
6. Anzahl der Wurzeln komplexer Zahl: Berechne die Wurzeln von $z = 12 \cdot e^{i \cdot 42 \circ}$. Wie viele Wurzeln hat $z$?
7. Komplexe Zahl potenzieren: Gegeben ist die komplexe Zahl $z = \sqrt{2} \cdot (1 + i)$. Berechne $z^4$ mit Hilfe der Formel von Moivre, gib das Ergebnis in der kartesischen Form an.
8. Realteil komplexer Zahl: Wie lauten in folgendem Bild dargestellten komplexen Zahlen in der kartesischen Form? Trage den Realteil von $z_1$ ein. (Zahlen im Bild: $z_1=(1,2)$)
9. Imaginärteil Zahl berechnen: Berechne $\frac{-8+4i}{-1+i}$ und gib das Endergebnis in der kartesischen Form an. Trage den Imaginärteil der Lösungszahl ein.
10. Komplexe Zahl subtrahieren: Berechne den Ausdruck $$(6.5 + 6i) - (-0.5 + 6i)$$ und gib das Endergebnis in kartesischer Form an.
11. Komplexe Zahl in kartesische Form: Bringe die in der Polarform vorliegenden komplexen Zahlen in die kartesische Form. Für die Teilaufgabe b) ist $z = 4 ( \cos 180^{\circ} + i \cdot \sin 180^{\circ} )$ gesucht.

Wichtige Begriffe

Komplexe Zahlen

Eine komplexe Zahl ist eine Zahl der Form a + b i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPj MCPbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv

Polarform

Neben der kartesischen Form z = a + b i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPj MCPbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG

Zeiger

Statt als Punkt kann man eine komplexe Zahl auch als Pfeil in die Gauß’sche Zahlenebene einzeichnen. Anstelle von „Pfeil“ sagt man Zeiger . Beispiel : Die Zahl z = 4 + 3 i MathType@MTE&

Imaginäre Einheit

Die Zahl i = − 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPj MCPbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2C G4uz3bIuV1wyUbqeeu

Addition komplexer Zahlen

Die Addition von komplexen Zahlen funktioniert genau so, wie wenn i die (reelle) Variable x wäre. Beispiel: ( 3 + 6 i ) + ( 5 − i ) = 3 + 6 i + 5 − i = 8 + 5 i MathType@MTEF@&#

Betrag einer komplexen Zahl

Der Betrag, auch Absolutbetrag genannt, | z | MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPj MCPbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaru

Division in Polarform

Zwei komplexe Zahlen z 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPj MCPbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2C G4uz3bIuV1wyUbqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbG

Division komplexer Zahlen

Die Division a + b i c + d i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPj MCPbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2C G4uz3bIuV1wyUbqeeuuDJX

Formel von Moivre

Eine komplexe Zahl in Polarform wird mit einer natürlichen Zahl n folgendermaßen potenziert: ( r ⋅ e i ⋅ φ ) n = r n ⋅ e i ⋅ n φ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyN

Gauß'sche Zahlenebene

Das Koordinatensystem, in das man komplexe Zahlen einträgt, wird Gauß‘sche Zahlenebene , komplexe Ebene oder komplexe Zahlenebene genannt. Sie sieht aus wie ein gewöhnliches Koordinatensystem, nur das

Imaginäre Zahlen

Alle Zahlen der Form b ⋅ i MathType@MTEF@&#053&#059;@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPj MCPbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqVvN

Konjugiert komplexe Zahl

Die konjugiert komplexe Zahl zu einer komplexen Zahl z = a + b i MathType@MTEF@&#053&#059;@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbdf

Multiplikation in Polarform

Zwei komplexe Zahlen z 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPj MCPbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2C

Multiplikation komplexer Zahlen

Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen funktioniert genau so, wie wenn i die (reelle) Variable x wäre mit der Besonderheit, dass das eventuell auftauchende i² noch zu –1 umgeformt wird. Beispiel

Real- und Imaginärteil

Bei einer komplexen Zahl z = a + b i MathType@MTEF@&#053&#059;@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPj MCPbqeduuDJXwAKbYu51MyV

Subtraktion komplexer Zahlen

Die Subtraktion von komplexen Zahlen funktioniert genau so, wie wenn i die (reelle) Variable x wäre. Beispiel: ( 3 + 6 i ) − ( 5 − i ) = 3 + 6 i − 5 − ( − i ) = 3 + 6 i − 5 + i = − 2 + 7 i MathTyp&#10

Umrechnung Polarfrom - kartesische Form

Eine komplexe Zahl in Polarform r ( cos φ + i ⋅ sin φ ) / r ⋅ e i ⋅ φ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPj MCPbqeduu

Wurzel

Worum geht es hier? Du kennst das Wurzelziehen von normalen, reellen Zahlen, zum Beispiel ist die Wurzel aus 9 die Zahl 3 (und auch -3), denn $3 \cdot 3 = 9$. Wir wollen uns nun ansehen, wie das bei k