Vielfachheit einer Nullstelle

Wenn du die Nullstellen einer Funktion bestimmst, berechnest du die Stellen, an denen der Graph die x -Achse trifft. Die Vielfachheit einer Nullstelle verrät dir dabei zwei wichtige Dinge: wie oft diese Nullstelle in der Gleichung vorkommt (als sogenannter Linearfaktor ) und wie sich der Graph an genau dieser Stelle verhält – ob er die x -Achse einfach durchschneidet oder sie nur berührt. Liegt eine Funktion als Produkt von Klammern vor (die man Linearfaktoren nennt), kannst du die Vielfachheit direkt am Hochzahl-Exponenten k ablesen: f(x) = (x - d)^k cdot dots Dabei ist: d : die Nullstelle (der x -Wert, der die Klammer zu Null macht) k : die Vielfachheit dieser Nullstelle Je nachdem, ob k eine gerade oder ungerade Zahl ist, verhält sich der Graph anders: Ungerade Vielfachheit ( k = 1, 3, 5, dots ): Der Graph schneidet die x -Achse (geht von oben nach unten oder umgekehrt). Gerade Vielfachheit ( k = 2, 4, 6, dots ): Der Graph berührt die x -Achse nur (er prallt ab wie an einer Wand und bleibt auf derselben Seite). Einfaches Beispiel (Zweifache Nullstelle): Gegeben ist die Funktion: f(x) = (x - 2)^2 Nullstelle finden: Wir setzen die Klammer gleich Null: x - 2 = 0 Rightarrow x = 2 . Vielfachheit ablesen: Der Exponent an der Klammer ist 2 (eine gerade Zahl). Bedeutung: Es handelt sich um eine zweifache (doppelte) Nullstelle . Weil die Nullstelle zweifach ist, hat der Graph bei x = 2 einen Berührpunkt. Er sieht dort aus wie eine Parabel, die mit ihrer Spitze (dem Scheitelpunkt) g