Stufenform

Lineare Gleichungssysteme in Stufenform Ein lineares Gleichungssystem (LGS) steht in der Stufenform , wenn es wie eine Treppe aufgebaut ist. In jeder Zeile verschwindet von links nach rechts eine Variable (z. B. x 1 , x 2 oder x 3 ). begin{array}{lrcrcrcr} text{(I)} & -4x 1 & + & 2x 2 & + & 3x 3 & = & 2 text{(II)} & & & 1x 2 & + & 2x 3 & = & 7 text{(III)}& & & & & 3x 3 & = & 12 end{array} Warum ist das hilfreich? Du kannst das System ganz einfach von unten nach oben lösen: 1. Unten starten: Aus der letzten Zeile (III) berechnest du x 3 ( 3x 3 = 12 Rightarrow x 3 = 4 ). 2. Einsetzen: Die Zahl für x 3 setzt du in die mittlere Zeile (II) ein, um x 2 zu finden. 3. Fertigstellen: Beide Werte setzt du oben in Zeile (I) ein, um x 1 zu berechnen. Diese Methode nennt man Rückwärtseinsetzen . Die Stufenform ist also das „Ziel“ beim Lösen von komplizierten Gleichungssystemen. Rechenbeispiel: Das oben gezeigte System wird schrittweise durch Rückwärtseinsetzen gelöst: 1. Aus (III): 3x 3 = 12 Rightarrow mathbf{x 3 = 4} 2. x 3 in (II) einsetzen: 1x 2 + 2 cdot 4 = 7 x 2 + 8 = 7 quad | -8 mathbf{x 2 = -1} 3. x 2 und x 3 in (I) einsetzen: -4x 1 + 2 cdot (-1) + 3 cdot 4 = 2 -4x 1 - 2 + 12 = 2 -4x 1 + 10 = 2 quad | -10 -4x 1 = -8 quad | :(-4) mathbf{x 1 = 2} Lösungsmenge: L = {(2 | -1 | 4) }