Standardnormalverteilung

Die Standardnormalverteilung ist eine spezielle Normalverteilung in der Stochastik. Sie hat immer den Erwartungswert mu = 0 und die Standardabweichung sigma = 1 . Sie hilft dir dabei, jede beliebige Normalverteilung durch die sogenannte „z-Transformation“ zu vereinfachen und vergleichbar zu machen, sodass du Wahrscheinlichkeiten leicht aus einer Tabelle ablesen oder mit dem Taschenrechner bestimmen kannst. Um eine normalverteilte Zufallsgröße X mit dem Erwartungswert mu und der Standardabweichung sigma in die standardisierte Zufallsgröße Z umzurechnen, nutzt du die z-Transformation : z = frac{x - mu}{ sigma} Für die Standardnormalverteilung gilt: Erwartungswert: mu = 0 Standardabweichung: sigma = 1 (und damit auch die Varianz sigma^2 = 1 ) Dichtefunktion (Gaußsche Glockenkurve): varphi(z) = frac{1}{ sqrt{2 pi}} cdot e^{- frac{1}{2}z^2} Verteilungsfunktion Phi(z) : Sie gibt die Wahrscheinlichkeit P(Z le z) an. Wegen der Symmetrie gilt für negative Werte: Phi(-z) = 1 - Phi(z) Aufgabe: Die Intelligenzquotienten (IQ) in einer Bevölkerung sind normalverteilt mit dem Erwartungswert mu = 100 und der Standardabweichung sigma = 15 . Wie groß ist der z-Wert für einen IQ von x = 115 ? Lösung: Du setzt die Gegebenheiten in die Transformationsformel ein: z = frac{x - mu}{ sigma} = frac{115 - 100}{15} = frac{15}{15} = 1 Interpretation: Ein IQ von 115 liegt genau eine Standardabweichung ( 1 sigma ) über dem Mittelwert. In der Tabelle der Standardnormalverteilung liest man für z = 1 den Wert