Satz von Vieta

Hast du dich schon mal gefragt, wie manche Mitschüler quadratische Gleichungen im Kopf lösen, ohne die pq-Formel aufzuschreiben? Das Geheimnis dahinter ist der Satz von Vieta . Mit ihm kannst du den Zusammenhang zwischen den Lösungen einer Gleichung und den Zahlen in der Gleichung nutzen, um Lösungen blitzschnell zu erraten oder deine berechneten Ergebnisse zu überprüfen. Damit du den Satz von Vieta anwenden kannst, muss deine quadratische Gleichung in der Normalform vorliegen. Das bedeutet, vor dem x^2 darf keine Zahl stehen: x^2 + px + q = 0 Wenn diese Gleichung die beiden Lösungen x 1 und x 2 hat, dann gelten immer die folgenden zwei Gleichungen: begin{aligned} 1) quad x 1 + x 2 &= -p 2) quad x 1 cdot x 2 &= q end{aligned} Achtung bei der Vorzeichen-Falle: In der ersten Gleichung musst du das Vorzeichen von p umdrehen! In diesem Beispiel hat die Parabel die Nullstellen bei x 1 = 2 und x 2 = 3 . Das Produkt der Nullstellen ergibt den y -Achsenabschnitt q = 6 , und ihre Summe ergibt -p = 5 . Aufgabe: Löse die Gleichung x^2 - 7x + 12 = 0 im Kopf. Lösung: 1. Bestimme zuerst p und q : p = -7 (also ist -p = 7 ) und q = 12 . 2. Wir suchen zwei Zahlen x 1 und x 2 , für die gilt: x 1 cdot x 2 = 12 x 1 + x 2 = 7 3. Überlege dir nun Faktoren von 12 und teste ihre Summe: 1 cdot 12 = 12 (Summe: 1 + 12 = 13 neq 7 ) 2 cdot 6 = 12 (Summe: 2 + 6 = 8 neq 7 ) 3 cdot 4 = 12 (Summe: 3 + 4 = 7 rightarrow Treffer! ) Die Lösungen lauten somit: x 1 = 3 und x 2 = 4 . Aufgabe: Erstelle eine quadrati