Rotationsachse

Wenn du eine flache Figur im Koordinatensystem um eine feste Gerade drehst (rotieren lässt), entsteht ein dreidimensionaler Körper – ein sogenannter Rotationskörper . Die Gerade, um die sich alles dreht, nennt man Rotationsachse (oder Drehachse). In der Schulmathematik ist dies meistens die x -Achse, seltener die y -Achse oder eine dazu parallele Gerade. Hier siehst du, wie die Fläche unter dem Graphen der Funktion f(x) = sqrt{x} über dem Intervall [0; 4] vorbereitet wird, um um die x -Achse (die Rotationsachse) zu rotieren: Für die Berechnung des Volumens V eines Rotationskörpers bestimmt die Lage der Rotationsachse die Integrationsformel: 1. Rotation um die x -Achse (Standardfall): V = pi cdot int {a}^{b} (f(x))^2 , dx 2. Rotation um eine Parallele zur x -Achse (Verschobene Achse y = d ): V = pi cdot int {a}^{b} (f(x) - d)^2 , dx Dabei sind a und b die Grenzen auf der Rotationsachse, die den Körper in der Länge begrenzen. Jeder Funktionswert f(x) stellt den Radius eines dünnen Kreisscheibchens an der Stelle x dar. Einfaches Beispiel: Entstehung eines Zylinders Eine horizontale Gerade mit der Gleichung f(x) = 3 rotiert im Intervall [0; 5] um die x -Achse. Da der Abstand zur Rotationsachse überall gleich 3 ist, entsteht ein gerader Kreiszylinder mit dem Radius r = 3 und der Höhe h = 5 . Das Volumen berechnet sich über das Integral: V = pi cdot int {0}^{5} 3^2 , dx = pi cdot [9x] {0}^{5} = pi cdot (45 - 0) = 45 pi approx 141{,}37 (Kontrolle über die Geometrieformel: V = pi cdo