Quadratische Ungleichung

Bei einer quadratischen Ungleichung suchst du nicht nach einem einzelnen Wert für x , sondern nach einem ganzen Bereich von Zahlen. Dieser Bereich muss eine mathematische Bedingung erfüllen, in der die Variable als Quadrat (als x^2 ) vorkommt. Du benutzt quadratische Ungleichungen immer dann, wenn du Grenzen bestimmen willst – zum Beispiel, ab welcher Breite ein Tunnel hoch genug für einen Lkw ist oder in welchem Zeitraum ein Unternehmen Gewinn macht. Eine quadratische Ungleichung hat im Wesentlichen dieselbe Form wie eine quadratische Gleichung, nur steht in der Mitte kein Gleichheitszeichen ( = ), sondern ein Ungleichheitszeichen ( , le, ge ): ax^2 + bx + c Wie löst man quadratische Ungleichungen? Der einfachste Weg führt über drei Schritte: 1. Grenzen finden: Ersetze das Ungleichheitszeichen durch ein = und berechne die Nullstellen. 2. Parabel vorstellen: Ist die Parabel nach oben geöffnet (positives x^2 ) oder nach unten geöffnet (negatives x^2 )? 3. Bereich ablesen: Entscheide anhand des Zeichens, ob du den Bereich zwischen den Nullstellen oder außerhalb suchst. --- Beispiel 1: Einfaches Umformen Finde alle Zahlen für x , für die gilt: x^2 - 9 le 0 Schritt 1: Grenzen berechnen Wir lösen die Gleichung x^2 - 9 = 0 : x^2 = 9 implies x 1 = -3 quad text{und} quad x 2 = 3 Schritt 2: Parabelform überlegen Die Parabel f(x) = x^2 - 9 ist nach oben geöffnet (da vor dem x^2 ein unsichtbares, positives +1 steht). Schritt 3: Bereich bestimmen Das Zeichen le bedeutet „kleiner oder gle