Potenzregel: Stammfunktion

Worum geht es hier? Die Potenzregel für die Stammfunktion ist eines der wichtigsten Werkzeuge der Integralrechnung. Wenn du die Fläche unter dem Graphen einer Funktion berechnen möchtest, benötigst du die Stammfunktion F – diesen Vorgang nennt man auch integrieren oder umgangssprachlich „aufleiten“. Die Potenzregel liefert dir ein einfaches Rezept, um für jede Potenzfunktion der Form f(x) = x^n die passende Stammfunktion zu bestimmen. Das ist quasi das Rückwärts-Ableiten! Mit der Potenzregel bestimmst du die Stammfunktion zu einer Potenzfunktion der Form: f(x) = x^n quad text{mit } n neq -1 Die Stammfunktion lautet dann: F(x) = frac{1}{n+1} cdot x^{n+1} + C Bedeutung der Variablen: f(x) ist die vorgegebene Ausgangsfunktion. F(x) ist die gesuchte Stammfunktion. n ist der Exponent der Variablen. C in mathbb{R} ist die Integrationskonstante . Da konstante Summanden beim Ableiten wegfallen, besitzt jede Funktion unendlich viele Stammfunktionen. Für die reine Bestimmung einer Stammfunktion setzt man oft C = 0 . Wichtige Ausnahme: Die Regel gilt für alle reellen Exponenten außer für n = -1 . Bei f(x) = x^{-1} = frac{1}{x} würde der Nenner n+1 Null werden. (Die Stammfunktion für diesen Spezialfall ist F(x) = ln(|x|) + C ). Gesucht ist eine Stammfunktion von: f(x) = x^4 Hier ist der Exponent n = 4 . Erhöhe den Exponenten um 1 ( 4+1=5 ) und teile die Funktion durch diese neue Zahl: F(x) = frac{1}{4+1} cdot x^{4+1} = frac{1}{5}x^5 Die Stammfunktion wird genutzt, um Flächeninhalte unter