Lineare Näherung

Stell dir vor, du radelst auf einer kurvigen Straße. Wenn du für einen ganz kurzen Augenblick die Augen schließt, fährst du ein kurzes Stück fast perfekt geradeaus – genau in die Richtung, in die dein Lenker gerade zeigt. Genau das ist die Idee der linearen Näherung : Wir ersetzen eine komplizierte, gebogene Kurve in der Nähe eines bestimmten Punktes durch eine einfache, gerade Linie (die Tangente ). Mit dieser geraden Linie können wir komplizierte Kurvenwerte in der Nähe unseres Startpunkts extrem schnell und einfach abschätzen. Um einen unbekannten Kurvenwert für eine Stelle x in der Nähe einer bekannten Stelle x 0 zu schätzen, nutzt du diese Formel: f(x) approx f(x 0) + f'(x 0) cdot (x - x 0) f(x) : Der genaue, aber schwer zu berechnende Wert der Kurve an der neuen Stelle x . approx : Das Zeichen für „ungefähr gleich“. f(x 0) : Der bekannte, leicht zu berechnende Ausgangswert an der Stelle x 0 . f'(x 0) : Die Steigung der Kurve (die Ableitung) an der Stelle x 0 . Sie gibt an, wie steil die Tangente ist. (x - x 0) : Der Abstand (Schrittweite) zwischen der bekannten Stelle und der neuen Stelle. Quadratzahlen schätzen Wir wollen den Wert von 1{,}1^2 ohne Taschenrechner schätzen. Unsere Funktion lautet f(x) = x^2 . Als bekannten Startpunkt wählen wir x 0 = 1 , da wir 1^2 = 1 im Kopf wissen. 1. Ausgangswert: f(1) = 1^2 = 1 2. Steigung bestimmen: Die Ableitung ist f'(x) = 2x . An der Stelle x 0 = 1 ist die Steigung also f'(1) = 2 cdot 1 = 2 . 3. Näherungsformel anwenden: Wir wol