Lage zweier Ebenen

Worum geht's? Stell dir zwei unendlich große Blätter Papier im Raum vor. Wie können die zueinander liegen? Es gibt nur drei Möglichkeiten: Sie sind komplett identisch, sie sind echt parallel (wie der Boden und die Decke in einem Zimmer) oder sie schneiden sich in einer geraden Linie. Wir wollen hier ein klares Vorgehen lernen, um für zwei beliebige Ebenen herauszufinden, welcher dieser drei Fälle vorliegt. Der Grundgedanke ist immer, die Normalenvektoren der beiden Ebenen zu vergleichen. Der Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Zeigen die Normalenvektoren in die gleiche (oder genau entgegengesetzte) Richtung, müssen die Ebenen parallel oder identisch sein. Zeigen sie in unterschiedliche Richtungen, müssen sich die Ebenen schneiden. Hier siehst du die drei Fälle: title: Lage zweier Ebenen prüfen - Normalenvektoren vec{n 1} und vec{n 2} vergleichen - Sind sie Vielfache voneinander? ( vec{n 1} = k cdot vec{n 2} ) - Ja - Punktprobe: Liegt ein Punkt von Ebene 1 auch auf Ebene 2? - Ja: Ebenen sind identisch - Nein: Ebenen sind echt parallel - Nein - Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden Es gibt keine einzelne Formel, sondern einen klaren Plan, den wir verfolgen. Vorgehen: Gegeben sind zwei Ebenen E 1 und E 2 . Schritt 1: Normalenvektoren bestimmen Bestimme die Normalenvektoren vec{n 1} von E 1 und vec{n 2} von E 2 . Bei der Koordinatenform ax 1 + bx 2 + cx 3 = d kannst du den Normalenvektor direkt ablesen: vec{n} = begin{pmatrix} a b c end{pmatr