Intervallschachtelung

Mit der Intervallschachtelung kannst du den Wert von unendlichen, nicht-abbrechenden Dezimalzahlen (wie zum Beispiel Quadratwurzeln) beliebig genau bestimmen. Stell dir vor, du "fängst" die gesuchte Zahl ein, indem du sie zwischen einer kleineren und einer größeren Zahl einsperrst. Diesen Suchbereich (das Intervall) machst du in jedem Schritt immer enger, bis du die Zahl genau genug bestimmt hast. Bei der Intervallschachtelung konstruiert man eine Reihe von Intervallen [J 1, J 2, J 3, ...] , für die drei Regeln gelten: 1. Einschachtelung : Jedes neue Intervall liegt komplett im vorherigen drin (es wird immer enger). 2. Eingrenzung : Die gesuchte Zahl (z. B. x = sqrt{a} ) liegt in jedem dieser Intervalle: u n le x le o n (wobei u n die untere und o n die obere Grenze im Schritt n ist). 3. Genauigkeit : Die Breite der Intervalle wird immer kleiner und geht gegen Null. Einfaches Beispiel: Wo liegt sqrt{2} ungefähr? (Ganze Zahlen) Wir suchen die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt ( x^2 = 2 ). Wir testen ganze Zahlen: 1^2 = 1 (das ist kleiner als 2 ) rightarrow unsere untere Grenze ist 1 . 2^2 = 4 (das ist größer als 2 ) rightarrow unsere obere Grenze ist 2 . Die Zahl sqrt{2} muss also irgendwo zwischen 1 und 2 liegen. Das erste Intervall heißen wir I 1 = [1; 2] . Seine Breite ist genau 1 . Mittleres Beispiel: Genauere Bestimmung von sqrt{2} (Zehntel und Hundertstel) Wir verfeinern das Intervall I 1 = [1; 2] aus dem leichten Beispiel, indem wir die Zehntelstellen zwi