Hessesche Normalenform

Worum geht es bei der Hesseschen Normalenform (kurz HNF)? Ganz einfach: Sie ist ein Spezialfall der Normalenform einer Ebene und unser perfektes Werkzeug, um den Abstand eines Punktes zu einer Ebene im Raum zu berechnen. Der Grundgedanke ist, die Ebenengleichung so aufzubereiten, dass wir den Abstand durch eine simple Einsetz-Rechnung erhalten. Der Trick dabei ist, einen ganz bestimmten Normalenvektor zu verwenden: einen, der die Länge 1 hat. Wir nennen ihn Einheitsnormalenvektor oder normierten Normalenvektor . Die Hessesche Normalenform einer Ebene sieht zunächst aus wie eine normale Normalengleichung : ( vec{x} - vec{p}) cdot vec{n} 0 = 0 Der entscheidende Unterschied liegt im Vektor vec{n} 0 : vec{x} ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes X auf der Ebene. vec{p} ist der Stützvektor, also der Ortsvektor zu einem bekannten Punkt P auf der Ebene. vec{n} 0 ist der normierte Normalenvektor der Ebene. Das bedeutet, seine Länge ist genau 1: | vec{n} 0| = 1 . Wie bekommen wir den normierten Normalenvektor? Wir nehmen einen beliebigen Normalenvektor vec{n} der Ebene und teilen ihn durch seine eigene Länge (seinen Betrag) | vec{n}| : vec{n} 0 = frac{1}{| vec{n}|} cdot vec{n} Formel für den Abstand Punkt-Ebene Haben wir die Ebene in der Hesseschen Normalenform, ist die Abstands-Berechnung kinderleicht. Um den Abstand d eines Punktes Q (mit Ortsvektor vec{q} ) von der Ebene E zu finden, setzen wir vec{q} einfach für vec{x} in den linken Teil der Gleichung ein und nehmen den Betr