Hebbare Lücke

Stell dir den Graphen einer gebrochenrationalen Funktion wie eine Straße vor. Meistens verläuft sie in Kurven oder ist an manchen Stellen komplett unterbrochen. Eine hebbare Lücke ist wie ein winziges, einzelnes Schlagloch auf dieser Straße. An genau dieser einen Stelle ist die Funktion mathematisch nicht definiert – es gibt dort also keinen Kurvenpunkt. Da es sich aber nur um ein "Punktloch" handelt, können wir dieses Loch mathematisch "stopfen" (heben), indem wir den Funktionsterm vereinfachen und kürzen. Eine gebrochenrationale Funktion hat die Form: f(x) = frac{z(x)}{n(x)} Eine hebbare Lücke liegt an einer Stelle x 0 vor, wenn diese Stelle sowohl eine Nullstelle des Nenners als auch des Zählers ist und sich der entsprechende Faktor im Nenner durch Kürzen vollständig entfernen lässt. Wir betrachten die Funktion: f(x) = frac{x-1}{x-1} 1. Definitionslücke bestimmen Nenner null setzen: x - 1 = 0 implies x = 1 Die Definitionsmenge ist mathbb{D} = mathbb{R} setminus {1 } . 2. Zählernullstelle bestimmen Zähler null setzen: x - 1 = 0 implies x = 1 3. Vergleichen und Kürzen Da x = 1 sowohl Zähler als auch Nenner null werden lässt, kürzen wir den Term: f(x) = frac{x-1}{x-1} = 1 quad ( text{für } x neq 1) Die Restfunktion lautet g(x) = 1 . Der Graph ist eine waagerechte Gerade auf der Höhe y = 1 mit einem punktuellen "Loch" an der Stelle x = 1 . Die Lücke liegt bei L(1|1) . Gegeben ist die Funktion: f(x) = frac{2x-4}{x-2} 1. Definitionslücke bestimmen Nenner null setzen: x - 2 = 0 i