Einheitsvektor

Worum geht's hier eigentlich? Stell dir vor, du hast einen Vektor, der eine bestimmte Richtung und Länge hat. Manchmal interessiert uns aber nur die Richtung des Vektors, die Länge ist dabei egal. Genau hier kommt der Einheitsvektor ins Spiel. Das Ziel ist es, einen neuen Vektor zu finden, der exakt in die gleiche Richtung zeigt wie unser ursprünglicher Vektor, aber immer die standardisierte Länge 1 hat. Man nennt diesen Prozess auch Normieren . So können wir Richtungen im Raum vergleichen, ohne von unterschiedlichen Längen abgelenkt zu werden. Um einen Vektor vec{a} auf die Länge 1 zu bringen (also zu normieren), müssen wir ihn durch seine eigene Länge | vec{a}| teilen. Das ist dasselbe wie ihn mit dem Kehrwert seiner Länge zu multiplizieren. Die Formel für den Einheitsvektor vec{a 0} lautet: vec{a 0} = frac{1}{| vec{a}|} cdot vec{a} Dabei ist: vec{a 0} der Einheitsvektor (erkennbar an der kleinen 0). vec{a} der ursprüngliche Vektor. | vec{a}| die Länge (der Betrag) des Vektors vec{a} . Zur Erinnerung, die Länge eines Vektors vec{a} = begin{pmatrix} a 1 a 2 a 3 end{pmatrix} berechnen wir mit dem Satz des Pythagoras: | vec{a}| = sqrt{a 1^2 + a 2^2 + a 3^2} Aufgabe: Finde den Einheitsvektor zu vec{a} = begin{pmatrix} 4 3 end{pmatrix} . Lösung: Wir folgen dem Plan: Zuerst berechnen wir die Länge von vec{a} , dann teilen wir den Vektor durch diese Länge. 1. Länge berechnen: | vec{a}| = sqrt{4^2 + 3^2} = sqrt{16 + 9} = sqrt{25} = 5 Der Vektor hat also die Länge 5. 2. Einheitsvekt