Differentialquotient

Wenn du mit dem Fahrrad fährst und am Ende der Tour deine Gesamtstrecke durch die Zeit teilst, erhältst du deine Durchschnittsgeschwindigkeit . Doch wie schnell warst du genau in der Sekunde, in der du den steilen Hügel hinabgesaust bist? Das zeigt dir dein Tacho – es ist die Momentangeschwindigkeit . In der Mathematik nennen wir diese exakte Änderung oder Steigung in einem einzigen Moment den Differentialquotienten . Er verrät dir die genaue Steigung eines Funktionsgraphen an einer ganz bestimmten Stelle. Der Differentialquotient an einer Stelle x 0 wird bestimmt, indem man einen zweiten Punkt ganz nah an x 0 heranschiebt. Mathematisch schreibt man das als Grenzwert (Limes) auf: f'(x 0) = lim {h to 0} frac{f(x 0 + h) - f(x 0)}{h} x 0 : Die Stelle (der x-Wert), an der du die Steigung wissen möchtest. h : Ein winzig kleiner Abstand zu einem Nachbarpunkt. frac{f(x 0 + h) - f(x 0)}{h} : Der Differenzenquotient (die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten). lim {h to 0} : Die Anweisung, den Abstand h immer näher an Null heranzubringen, bis die beiden Punkte fast zu einem einzigen verschmelzen. Das Ergebnis f'(x 0) ist die Steigung der Tangente (Berührlinie) an diesem Punkt. Aufgabe: Bestimme die momentane Steigung der Funktion f(x) = x^2 an der Stelle x 0 = 1 . Lösung: Wir setzen die Stelle x 0 = 1 in unsere Formel ein: 1. Aufstellen des Quotienten mit Abstand h : frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = frac{(1 + h)^2 - 1^2}{h} 2. Zähler mit der ersten binomischen Formel ausmultipliz