Definitionsbereich bestimmen

Worum geht's hier eigentlich? Bei Bruchgleichungen steht die Variable x im Nenner eines Bruches. In der Mathematik gibt es jedoch ein eisernes Gesetz: Man darf niemals durch Null teilen! Unser Ziel ist es herauszufinden, welche Zahlen wir für x nicht einsetzen dürfen, weil sonst ein Nenner den Wert 0 annehmen würde. Alle Zahlen, die erlaubt sind, bilden zusammen den Definitionsbereich (Symbol: mathbb{D} ). Die verbotenen Zahlen, die zu einer Division durch Null führen würden, heißen Definitionslücken . Um den Definitionsbereich systematisch zu bestimmen, gehen wir Schritt für Schritt vor: Die mathematische Schreibweise für den Definitionsbereich lautet: mathbb{D} = mathbb{R} setminus { text{Definitionslücken} } (Lies: „Die Definitionsmenge mathbb{D} ist gleich der Menge der reellen Zahlen ohne die Definitionslücken.“) Wir starten mit einer einfachen Bruchgleichung: frac{8}{x-2} = 4 Schritt 1: Wir betrachten den Nenner, in dem die Variable x steht: x-2 . Schritt 2: Wir setzen diesen Nenner gleich Null. x - 2 = 0 Schritt 3: Wir lösen nach x auf. x = 2 quad | +2 Die Zahl 2 ist unsere Definitionslücke. Setzen wir 2 ein, erhielten wir im Nenner 2-2=0 – eine verbotene Division. Der Definitionsbereich mathbb{D} enthält also alle reellen Zahlen außer der 2 : mathbb{D} = mathbb{R} setminus {2 } Nun untersuchen wir eine Gleichung mit zwei verschiedenen Nennern: frac{5}{2x} = frac{10}{x+3} Wir müssen beide Nenner einzeln auf Nullstellen untersuchen: 1. Nenner untersuchen: 2x = 0 quad |