Abstand Punkt-Gerade mit Hilfebene

Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden im Raum entspricht immer der kürzesten Verbindung zwischen beiden. Diese kürzeste Strecke steht stets im rechten Winkel (orthogonal) zur Geraden. Um diesen Abstand im dreidimensionalen Raum zu bestimmen, nutzen wir eine mathematische Brücke: die Hilfsebene E H . Wir legen diese Hilfsebene so, dass sie den Punkt Q enthält und senkrecht zur Geraden g steht. Der Schnittpunkt dieser Ebene mit der Geraden gibt uns genau den Punkt, der Q am nächsten liegt: den Lotfußpunkt F . Der gesuchte Abstand ist dann die Länge der Strecke zwischen F und Q . Um den Abstand eines Punktes Q(q 1|q 2|q 3) von einer Geraden g: vec{x} = vec{p} + t cdot vec{u} zu berechnen, gehst du in drei logischen Schritten vor: Schritt 1: Hilfsebene E H aufstellen Wir konstruieren eine Hilfsebene E H in Koordinatenform. Weil sie senkrecht auf der Geraden stehen soll, nehmen wir einfach den Richtungsvektor vec{u} der Geraden als Normalenvektor vec{n} für unsere Ebene: vec{n} = vec{u} = begin{pmatrix} n 1 n 2 n 3 end{pmatrix} Damit lautet die Ebenengleichung: E H: n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 = b Da der Punkt Q auf dieser Ebene liegen muss, setzen wir seine Koordinaten ein, um den Achsenabschnitt b zu berechnen: b = vec{n} cdot vec{q} Schritt 2: Lotfußpunkt F bestimmen (Schnittpunkt berechnen) Der Lotfußpunkt F ist der Schnittpunkt (Durchstoßpunkt) der Geraden g mit der Hilfsebene E H . Setze dazu die x-, y- und z-Koordinaten der Geradengleichung in die Hilfsebene ein: x 1 =