Abstand Ebene-Ebene

Wir wollen herausfinden, wie weit zwei Ebenen im Raum voneinander entfernt sind. Das ist eine wichtige Frage, wenn wir die geometrische Anordnung von Objekten verstehen wollen. Dabei schauen wir uns verschiedene Fälle an, denn der Abstand hängt stark davon ab, wie die Ebenen zueinander liegen. { "title": "Zwei parallele Ebenen", "functions": [ { "id": "e1", "expr": "(6 - 2 x + y) / 3", "color": " e11d48" }, { "id": "e2", "expr": "(12 - 2 x + y) / 3", "color": " 3b82f6" } ] } Für den Abstand zweier Ebenen gibt es keine einzelne Formel, die wir blind anwenden können, da der Abstand meistens entweder 0 ist oder wir auf den Abstand Punkt-Ebene zurückgreifen. Wenn die Ebenen parallel sind, nehmen wir den Abstand Punkt-Ebene . Dazu benötigen wir die Ebene E 1 in der Hess’schen Normalform und einen beliebigen Punkt P 2 von Ebene E 2 . d(E 1, P 2) = left| frac{ vec{n} 1 cdot vec{p} 2 - d 1}{| vec{n} 1|} right| Hierbei ist: E 1: vec{n} 1 cdot vec{x} = d 1 die Ebene in Normalenform. vec{n} 1 der Normalenvektor der Ebene E 1 . d 1 die Konstante aus der Normalenform. vec{p} 2 der Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf Ebene E 2 . | vec{n} 1| der Betrag des Normalenvektors, also die Länge des Vektors. Wenn die Ebenen identisch sind oder sich schneiden, ist der Abstand immer 0 . Das ist ja auch logisch, denn dann berühren oder durchdringen sie sich. Zunächst betrachten wir zwei Ebenen, die identisch sind. Gegeben sind die Ebenen: E 1: x + 2y - z = 4 E 2: 2x + 4y - 2z = 8 Wir sehen, dass E