Ableitung: Logarithmus

Worum geht's? Es geht um die Ableitung einer ganz besonderen Funktion: der Logarithmusfunktion . Genauer gesagt, schauen wir uns den natürlichen Logarithmus f(x) = ln(x) an. Du kennst diese Funktion als Umkehrfunktion zur e-Funktion. Unser Ziel ist es, eine allgemeine Regel zu finden, um die Steigung des Graphen von ln(x) an jeder beliebigen Stelle x zu berechnen. Diese Ableitung ist ein zentraler Baustein in der Kurvendiskussion, zum Beispiel wenn wir Extrem- oder Wendepunkte von Funktionen bestimmen wollen, in denen der Logarithmus vorkommt. Die Ableitungsregel für den natürlichen Logarithmus ist erfreulich einfach und elegant. Wir müssen sie uns einfach merken. Für die Funktion f(x) = ln(x) lautet die Ableitung: f'(x) = frac{1}{x} Dabei gilt: Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert, also für x 0 . Das bedeutet, dass auch seine Ableitung nur in diesem Bereich betrachtet wird. { "title": "Logarithmusfunktion und ihre Ableitung", "xMin": 0.1, "xMax": 8, "yMin": -2, "yMax": 5, "functions": [ { "id":"f1", "expr":"ln(x)", "label":"f(x) = ln(x)", "color":" e11d48" }, { "id":"f2", "expr":"1/x", "label":"f'(x) = 1/x", "color":" 1d4ed8" } ] } Sehr häufig kommt der Logarithmus aber nicht allein, sondern als Teil einer verketteten Funktion vor, also in der Form f(x) = ln(u(x)) . Hier brauchen wir zusätzlich die Kettenregel . Der Plan ist: "Ableitung der inneren Funktion geteilt durch die innere Funktion". f'(x) = frac{u'(x)}{u(x)} Dabei ist u(x) die Funktion, die innerha