Zahlentheorie-Fortsetzung

Aufgaben mit Lösungsweg

1. Restklasse bestimmen: In welche Restklasse gehört die Zahl a) $67$ bezüglich des Moduls $8$ b) $2749$ bezüglich des Moduls $12$ c) $50876$ bezüglich des Moduls $121$ Gib für c) den Rest an.
2. Aussagen zu Modulo prüfen: Prüfe nach, ob die folgenden Aussagen korrekt sind: a) $104 \operatorname{mod} 14 = 6$ b) $56 \equiv 93 \pmod{7}$
3. Euler'sche Phi-Funktion: Berechne $\varphi(84)$ ($\varphi$ ist die Euler’sche Phi-Funktion).
4. Anzahl der Gruppenaxiome: Zeige, dass die Menge der primen Restklassen modulo $3$: $R_3^* = \{ 1+3\mathbb{Z}, 2+3\mathbb{Z} \}$ zusammen mit der (Restklassen-)Multiplikation eine Gruppe bildet. Gib die Anzahl der Regeln ein, die du überprüfen mus

Wichtige Begriffe

Gruppe

Eine Gruppe ist ein Pärchen ( G , • ) MathType@MTEF@&#053&#059;@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPj MCPbqeduuDJXwAKbYu51My

Restklassen modulo m

Die Restklasse von a modulo m ist die Menge aller ganzen Zahlen b, die kongruent zu a modulo m sind. Sie wird mit a + m ℤ MathType@MTEF@&#053&#059;@5@&

Division mit Rest

Wenn wir eine Zahl durch eine andere teilen, geht das nicht immer perfekt auf. Stell dir vor, du möchtest $7$ Bonbons gerecht an $3$ Freunde verteilen. Jeder bekommt $2$ Bonbons, aber ein Bonbon bleib

Prime Restklassen

Eine Restklasse a + m ℤ MathType@MTEF@&#053&#059;@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPj MCPbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqVvNCPv

Satz von Euler-Fermat

Satz von Euler-Fermat : Wenn n eine natürliche Zahl, a eine ganze Zahl und g g T ( n , a ) = 1 MathType@MTEF@&#053&#059;@5@+= feaagKart1ev2aaatCvA

Erweiterter euklidischer Algorithmus

Ist ein Verfahren, mit dessen Hilfe sich neben dem größten gemeinsamen Teiler von zwei natürlichen Zahlen a und b zusätzlich zwei ganze Zahlen s und t berechnen lassen, welche die folgende Gleichung e

Euklidischer Algorithmus

Der euklidische Algorithmus ist ein Rechenverfahren zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers von zwei natürlichen Zahlen. Dabei wird so oft Division mit Rest durchgeführt, bis der Rest 0 ist. De

Euler'sche Phi-Funktion

Die Euler’sche Phi-Funktion (Euler’sche φ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPj MCPbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2C G4uz3bIuV

Kongruenz modulo

Zwei natürliche Zahlen a und b nennt man kongruent modulo m (oder restegleich bei Division durch m ), wenn a : m MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerb

Menge der primen Restklassen

Die Menge der primen Restklassen modulo m bezeichnet man mit R m ∗ MathType@MTEF@&#053&#059;@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerb

Menge der Restklassen modulo m

Eine Restklasse modulo m ist eine Menge von all den ganzen Zahlen, die restegleich bei Division durch m sind. Es gibt genau m Restklassen modulo m. Die Menge aller Restklassen modulo m wird mit R m Ma

Modul-Begriff

Anstatt „Der Rest von a : b MathType@MTEF@&#053&#059;@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPj MCPbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqVv

Primfaktorzerlegung

Jede natürliche Zahl n > 1 MathType@MTEF@&#053&#059;@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPj MCPbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWq

Restklassen-Addition

Restklassen zum gleichen Modul m können addiert werden. Wenn a + m ℤ MathType@MTEF@&#053&#059;@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Cae

Restklassen-Multiplikation

Restklassen zum gleichen Modul m können multipliziert werden. Wenn a + m ℤ MathType@MTEF@&#053&#059;@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvy