Zahlentheorie-Einführung

Aufgaben mit Lösungsweg

1. Erweiteter Euklidischer Algorithmus: Gib mit Hilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus für $s$ und $t$ zwei ganze Zahlen an, welche die Gleichung $ggT(52, 30) = s \cdot 52 + t \cdot 30$ erfüllen. Die Frage verlangt die Zahl für $t$.
2. Größten gemeinsamen Teiler bestimmen: Bestimme den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von $969$ und $627$ mithilfe des Euklidischen Algorithmus.
3. Größter gemeinsamer Teiler: Bestimme jeweils den größten gemeinsamen Teiler ohne Zuhilfenahme des Euklidischen Algorithmus. a) $ggT(112, 126)$ b) $ggT(84, 133, 91)$
4. Wochentag bestimmen: Der Tag der Deutschen Einheit (03. Oktober) fiel $2013$ auf einen Donnerstag. $2014$ ist kein Schaltjahr. Welcher Wochentag ist der $03.10.2014$?
5. Datum nach 1000 Stunden: Es sei heute der 12.11. um 16 Uhr. Welches Datum und welche Uhrzeit hat man nach genau $1000$ Stunden? Gib den berechneten Tag des Monats Dezember an.

Wichtige Begriffe

Teiler

Eine natürliche Zahl a teilt eine natürliche Zahl b, wenn b : a MathType@MTEF@&#053&#059;@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbdfg

Primzahl

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die durch genau zwei verschiedene natürliche Zahlen teilbar ist. Und zwar ist eine Primzahl nur durch sich selbst und durch 1 teilbar. Beispiel : Die ersten Pri

Primfaktorzerlegung

Jede natürliche Zahl n > 1 MathType@MTEF@&#053&#059;@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPj MCPbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWq

Division mit Rest

Wenn wir eine Zahl durch eine andere teilen, geht das nicht immer perfekt auf. Stell dir vor, du möchtest $7$ Bonbons gerecht an $3$ Freunde verteilen. Jeder bekommt $2$ Bonbons, aber ein Bonbon bleib

Gruppe

Eine Gruppe ist ein Pärchen ( G , • ) MathType@MTEF@&#053&#059;@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPj MCPbqeduuDJXwAKbYu51My

Erweiterter euklidischer Algorithmus

Ist ein Verfahren, mit dessen Hilfe sich neben dem größten gemeinsamen Teiler von zwei natürlichen Zahlen a und b zusätzlich zwei ganze Zahlen s und t berechnen lassen, welche die folgende Gleichung e

Euklidischer Algorithmus

Der euklidische Algorithmus ist ein Rechenverfahren zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers von zwei natürlichen Zahlen. Dabei wird so oft Division mit Rest durchgeführt, bis der Rest 0 ist. De

Größter gemeinsamer Teiler

Der **größte gemeinsame Teiler (ggT)** ist die größte natürliche Zahl, durch die sich zwei oder mehr Zahlen ohne Rest teilen lassen. Er ist ein wichtiges Werkzeug in der Arithmetik, um beispielsweise

Teilerfremdheit

Zwei natürliche Zahlen a und b heißen teilerfremd , wenn es außer 1 keine natürliche Zahl gibt, die sowohl a als auch b teilt. Somit sind a und b teilerfremd, wenn g g T ( a , b ) = 1 MathType&#0