Numerik

Aufgaben mit Lösungsweg

1. Anzahl Schritte Newton-Verfahren: Berechne mit dem Newton-Verfahren die Nullstelle der Funktion $f(x) = -\frac{1}{10}x^2 - 2x + 6$. Der Startwert ist $x_0 = 0$. Gib an, nach wie vielen Schritten die auf zwei Dezimalen gerundete Nullstelle erreicht ist.
2. y-Achsenabschnitt des Splines s₂: Es sind die folgenden Punkte gegeben: $P_1(0|2)$, $P_2(1|4)$, $P_3(4|1)$, $P_4(8|9)$. Berechne die Splines zwischen den Punkten. Beginne mit $s_0$ und trage die Lösung für den y-Achsenabschnitt von $s_2$ ein. (Erinnerung
3. Koeffizient Taylorreihe: Gib eine ganzrationale Funktion der Ordnung $4$ an, die sich am Entwicklungspunkt $x_0 = 0$ der Funktion $f(x) = e^{2x}$ annähert. Trage den Koeffizienten vor dem Term $x^3$ auf zwei Dezimalen gerundet ein.
4. Lagrange-Polynom Koeffizient: Es sind die folgenden Punkte gegeben: $P_1(1|1)$, $P_2(2|3)$, $P_3(4|4)$, $P_4(5|6)$. Bestimme das Lagrange-Polynom. Trage den Wert vor dem Term $x^2$ als Dezimalzahl ein.
5. Quadratische Splines: Es sind folgende Punkte gegeben: $P_1(1|4)$, $P_2(2|3)$, $P_3(6|4)$, $P_4(7|1)$. Berechne die quadratischen Splines zwischen den Punkten. Zusatzbedingung ist $s'(x_0) = 2$. Beginne bei $s_0$ und gib $b_2$ ein.
6. Integral mit Simpsonregel: Berechne mithilfe der Simpsonregel das angenäherte Integral $\int_1^7 x \cdot e^x \,dx$. Runde erst ganz am Ende auf zwei Dezimalen.
7. Differenz Trapezregel-Annäherung: Berechne das Integral $$\int_3^6 (-x^2 + 10x - 18)\,dx$$ mithilfe der Trapezregel. Berechne das Integral zuerst durch Annäherung mit einem Trapez und dann durch Annäherung mit $6$ Trapezen. Trage die Differenz der beiden
8. Regressionskoeffizient bestimmen: Die Punkte $P_1(1|2)$, $P_2(3|4)$, $P_3(4|8)$, $P_4(5|10)$ sind gegeben. Bestimme durch Regression eine Funktion, die durch diese Punkte geht. Die Funktion soll dabei die Gestalt $f(x) = a \cdot f_1(x) + b \cdot f_2(x) +

Wichtige Begriffe

Lineare Splines

Lineare Splines Splines sind Funktionen, die durch stückweise Polynome zusammengesetzt sind. Lineare Splines haben den Grad eins. Es existiert immer ein Spline zwischen zwei Punkten. Lineare Splines h

Simpsonregel

Simpsonregel Die Simpsonregel wird angewendet um die Annäherung eines Integrals zu berechnen. Dabei wird die Funktion durch einen Parabelbogen ersetzt. Das angenäherte Integral wird so berechnet: Q (

Taylorentwicklung

Taylorentwicklung Bei der Taylorentwicklung wird eine beliebige Funktion durch eine ganzrationale Funktion angenähert. Um eine solche Funktion zu finden wird ein Entwicklungspunkt x 0 MathType@MTEF@5@

Trapezformel

Trapezformel Die Trapezformel ist ebenfalls ein Verfahren, durch welches ein Integral angenähert werden kann. Man nähert dabei die Fläche unter einer Kurve einem Trapez, oder beliebig vielen gleich br