Matrizenrechnung

Aufgaben mit Lösungsweg

1. Matrixprodukt nicht berechenbar: Welches der folgenden Produkte kann man nicht berechnen?
2. Lösbarkeit des Gleichungssystems: Gegeben ist das Gleichungssystem $Ax=b$ mit $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ und $b = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$. Bestimme den Rang der Koeffizientenmatrix $A$ und
3. Matrixprodukt: Berechne das Matrixprodukt: $$ \begin{pmatrix} 4 & 2 & 8 \\ 3 & 7 & -4 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 6 & -5 & -2 \\ 3 & 1 & 3 \end{pmatrix} $$
4. Matrixmultiplikation und -subtraktion: Berechne $2 \cdot \begin{pmatrix} 4 & 2 & 8 \\ 3 & 7 & -4 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix} - 3 \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 6 & -5 & -2 \\ 3 & 1 & 3 \end{pmatrix}$.
5. Inverse einer Matrix: Berechne die Inverse der Matrix $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$.

Wichtige Begriffe

Hauptdiagonale

Die Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix A bilden die Elemente a 11 , a 22 , … , a n n MathType@MTEF@&#053&#059;@&#053&#059;@+= f

Quadratische Matrix

Eine quadratische Matrix ist eine Matrix, die genau so viele Zeilen wie Spalten hat: A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) EMathType@MTEF@&#0

Diagonalmatrix

Eine Diagonalmatrix ist eine Matrix, bei der außerhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen stehen: ( a 11 0 ⋯ 0 0 a 22 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n n ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2

Einheitsmatrix

Eine Einheitsmatrix E ist eine Matrix, bei der auf der Hauptdiagonalen Einsen stehen und ansonsten nur Nullen: ( 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagK

Hauptsatz lineare Gleichungssysteme

Der Hauptsatz linearer Gleichungssysteme macht eine Aussage über die Anzahl der Lösungen eines linearen Gleichungssystems. Hauptsatz linearer Gleichungssysteme: Für ein inhomogenes lineares Gleichungs

Inverse Matrix

Eine quadratische Matrix A heißt invertierbar , wenn es eine Matrix A − 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPj MCPbqeduuDJXwAKbYu51MyVX

Nullmatrix

Eine Nullmatrix ist eine Matrix bei der alle Elemente Null sind: ( 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ) MathType@MTEF@&#053&#059;@&#053&#059;@+=

Obere Dreiecksmatrix

Eine obere Dreiecksmatrix ist eine Matrix, bei der unterhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen stehen: ( b 11 b 12 ⋯ b 1 n 0 b 22 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ b n n ) MathType@MTEF@&#03

Rang einer Matrix

Der Rang einer Matrix ist die Anzahl der Zeilen die nach der Umformung in Stufenform nicht Nullzeilen sind.

Reguläre Matrix

Eine Matrix A heißt regulär wenn sie invertierbar ist, sonst heißt die singulär .

Singuläre Matrix

Eine Matrix A heißt regulär wenn sie invertierbar ist, sonst heißt die singulär .

Spaltenvektor

Ein Spaltenvektor ist eine Matrix mit nur einer Spalte.

Untere Dreiecksmatrix

Eine untere Dreiecksmatrix ist eine Matrix, bei der oberhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen stehen: ( c 11 0 ⋯ 0 c 21 c 22 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ c n 1 c n 2 ⋯ c n n ) MathType@MTEF@&#03

Zeilenvektor

Ein Zeilenvektor ist eine Matrix mit nur einer Zeile.