Matrizen und lineare Abbildungen

Aufgaben mit Lösungsweg

1. Matrixprodukte berechnen: Welches der folgenden Matrixprodukte kann man nicht berechnen?
2. Spiegelung am Ursprung (Matrix): Stelle die Abbildungsmatrix für die Spiegelung am Koordinatenursprung auf. Welches der drei folgenden Möglichkeiten ist die richtige Lösung?
3. Matrix-Subtraktion: Berechne $2 \cdot \begin{pmatrix} 4 & 2 & 8 \\ 3 & 7 & -4 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix} - 3 \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 6 & -5 & -2 \\ 3 & 1 & 3 \end{pmatrix}$.
4. Inverse einer Matrix berechnen: Berechne die Inverse der Matrix $$\begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$
5. Fixpunkte einer Abbildung: Berechne die Fixpunkte der Abbildung $y = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot x + \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \end{pmatrix}$. Welche der folgenden drei Möglichkeiten ist die richtige Lösung?
6. Matrizenmultiplikation: Berechne $$\begin{pmatrix} 4 & 2 & 8 \\ 3 & 7 & -4 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 6 & -5 & -2 \\ 3 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$. Welches ist die richtige Lösung?
7. Rang einer Matrix und Lösbarkeit: Gegeben ist das Gleichungssystem $A\vec{x}=\vec{b}$ mit $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$. Bestimme den Rang der Koeffizie
8. Affine Abbildung: Ist die folgende Abbildung eine affine Abbildung? $$ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pm
9. Abbildungstyp bestimmen: Ist die folgende Abbildung eine Kongruenzabbildung, eine Ähnlichkeitsabbildung oder beides? $\vec{y} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

Wichtige Begriffe

Hauptdiagonale

Die Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix A bilden die Elemente a 11 , a 22 , … , a n n MathType@MTEF@&#053&#059;@&#053&#059;@+= f

Lineare Abbildung

Eine Abbildung f : V → W MathType@MTEF@&#053&#059;@&#053&#059;@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKf MBHbqedmvETj2BSbqefm0

Affine Abbildung

Eine affine Abbildung ist von der Form: y → = A ⋅ x → + c → MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKf MBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhi

Abbildungsmatrix

Der Grundgedanke ist es, eine [[lineare Abbildung]] unserer Vektoren $\vec{x}$ in neue Vektoren $\vec{y}$ durch die Multiplikation mit einer Matrix darzustellen. Stell dir vor, du hast einen Punkt in

Quadratische Matrix

Eine quadratische Matrix ist eine Matrix, die genau so viele Zeilen wie Spalten hat: A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) EMathType@MTEF@&#0

Ähnlichkeitsabbildung, Kongruenzabbildung

Ist eine [[affine Abbildung]] winkeltreu, dann nennt man sie Ähnlichkeitsabbildung . Ist eine affine Abbildung sogar längentreu, dann nennt man sie [[Kongruenzabbildung]] . Eine affine Abbildung ist g

Diagonalmatrix

Eine Diagonalmatrix ist eine Matrix, bei der außerhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen stehen: ( a 11 0 ⋯ 0 0 a 22 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n n ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2

Eigenvektor, Eigenwert

Eine lineare Abbildung f : V → V MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKf MBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1B TfMBaebbnr

Einheitsmatrix

Eine Einheitsmatrix E ist eine Matrix, bei der auf der Hauptdiagonalen Einsen stehen und ansonsten nur Nullen: ( 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagK

Fixpunkte

Fixpunkte einer Abbildung sind Punkte, die von dieser Abbildung auf sich selbst abgebildet werden. Fixpunkte der affinen Abbildung y → = A ⋅ x → + c → MathType@MTEF@5@5@+= fe

Hauptsatz lineare Gleichungssysteme

Der Hauptsatz linearer Gleichungssysteme macht eine Aussage über die Anzahl der Lösungen eines linearen Gleichungssystems. Hauptsatz linearer Gleichungssysteme: Für ein inhomogenes lineares Gleichungs

Inverse Matrix

Eine quadratische Matrix A heißt invertierbar , wenn es eine Matrix A − 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPj MCPbqeduuDJXwAKbYu51MyVX

Kern

Ein Vektor v gehört zum Kern einer linearen Abbildung f : V → W MathType@MTEF@&#053&#059;@&#053&#059;@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzL

Nullmatrix

Eine Nullmatrix ist eine Matrix bei der alle Elemente Null sind: ( 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ) MathType@MTEF@&#053&#059;@&#053&#059;@+=

Obere Dreiecksmatrix

Eine obere Dreiecksmatrix ist eine Matrix, bei der unterhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen stehen: ( b 11 b 12 ⋯ b 1 n 0 b 22 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ b n n ) MathType@MTEF@&#03

Reguläre Matrix

Eine Matrix A heißt regulär wenn sie invertierbar ist, sonst heißt die singulär .

Singuläre Matrix

Eine Matrix A heißt regulär wenn sie invertierbar ist, sonst heißt die singulär .

Spaltenvektor

Ein Spaltenvektor ist eine Matrix mit nur einer Spalte.

Untere Dreiecksmatrix

Eine untere Dreiecksmatrix ist eine Matrix, bei der oberhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen stehen: ( c 11 0 ⋯ 0 c 21 c 22 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ c n 1 c n 2 ⋯ c n n ) MathType@MTEF@&#03

Verkettete Abbildung

Sind f A , f B MathType@MTEF@&#053&#059;@&#053&#059;@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKf MBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhio