Kreis und Kugel (mündlich)

Aufgaben mit Lösungsweg

1. Punktlage zum Kreis: Prüfe, ob der Punkt $P(8|9)$ auf dem Kreis $k$, im Kreis oder außerhalb des Kreises liegt. Die Gleichung des Kreises ist $k: (x_1 - 4)^2 + (x_2 - 3)^2 = 25$.
2. Tangente an Kreis bestimmen: Bestimme die Tangente im Punkt $P$ an den Kreis $k$ um $M$: $M(1|0)$; $P(5|3)$. Gib die Gleichung der Tangente an.
3. Schnittpunkte Gerade-Kreis: Berechne die gemeinsamen Punkte der Geraden $g$ mit dem Kreis $k$. $k : (x_1 - 1)^2 + (x_2 + 1)^2 = 9$; $g : \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$. Welches ist die
4. Tangentialebene an Kugel: Bestimme die Tangentialebene an die Kugel $k$ im Punkt $P$: $k: (\vec{x} - \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix})^2 = 25$; $P(1|4|3)$.
5. Lagebeziehung Punkt-Kugel: Prüfe, ob der Punkt $P$ auf, innerhalb oder außerhalb der Kugel $k$ liegt, deren Gleichung gegeben ist durch $(x - C)^2 = r^2$. Die Kugelgleichung lautet $(x - \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix})^2 = 9$ und der P
6. Lage Kugel und Gerade: Bestimme die Lage der Geraden zur Kugel. Welches ist die richtige Lösung? Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ Kugel $k: (\vec{x} - \begin{
7. Lage Gerade Kugel: Bestimme die Lage der Geraden zur Kugel: $\vec{g}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ $\vec{k}: (\vec{x} - \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix})
8. Radius für Tangente bestimmen: Wie muss man den Radius $r$ des Kreises $k$ mit Mittelpunkt $M(2|4)$ wählen, damit die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ eine Tangente des Kreises

Wichtige Begriffe

Kreis

Ein Kreis k ist die Menge aller Punkte auf der Ebene, die den gleichen Abstand r von einem Punkt M haben. M heißt Mittelpunkt des Kreises. r heißt Radius des Kreises. Die Vektorgleichung des Kreises k

Kugel

Eine Kugel k ist die Menge aller Punkte im Raum, die den gleichen Abstand r von einem Punkt M haben. M heißt Mittelpunkt der Kugel. r heißt Radius der Kugel. Die Vektorgleichung der Kugel k um den Mit

Lagebeziehung Kreis Gerade

Eine Gerade kann einen Kreis entweder in einem Punkt schneiden, oder in zwei Punkten, oder in keinem Punkt. Um die Anzahl Schnittpunkte zu bestimmen setzt man die Geradengleichung in die Kreisgleichun

Lagebeziehung Kreis Punkt

Ein Punkt P kann entweder innerhalb, auf, oder außerhalb eines Kreises sein. Bestimme den Abstand d von P zum Mittelpunkt M: d = ( m 1 − p 1 ) 2 + ( m 2 − p 2 ) 2 MathType@MTEF&#06

Lagebeziehung Kugel Ebene

Eine Kugel und eine Ebene schneiden sich entweder nicht , berühren sich in genau einem Punkt oder die Ebene schneidet die Kugel in einem Schnittkreis.

Lagebeziehung Kugel Gerade

Eine Gerade kann eine Kugel entweder in einem Punkt schneiden, oder in zwei Punkten, oder in keinem Punkt. Um die Anzahl Schnittpunkte zu bestimmen setzt man die Geradengleichung in die ugelgleichung

Lagebeziehung Kugel Punkt

Ein Punkt P kann entweder innerhalb, auf oder außerhalb einer Kugel sein. Bestimme den Abstand d von P zum Mittelpunkt M: d = ( m 1 − p 1 ) 2 + ( m 2 − p 2 ) 2 + ( m 3 − p 3 ) 2 MathType@&#0

Lagebeziehung zwei Kreise

Zwei Kreise schneiden sich entweder in keinem Punkt, oder in einem Punkt, oder in zwei Punkten. Um die Schnittpunkte der Kreise k 1 : ( x 1 − a 1 ) 2 ⋅ ( x 2 − b 1 ) 2 = r 1 2 k 2 : ( x 1 − a 2 ) 2 ⋅

Passante

Eine Passante zu einem Kreis k ist eine Gerade, die den Kreis nicht schneidet.

Sekante zu einem Kreis

Eine Sekante zu einem Kreis k ist eine Gerade, die den Kreis in zwei Punkten schneidet.

Tangente zu einem Kreis

Eine Tangente zu einem Kreis k ist eine Gerade, die die Kugel in genau einem Punkt berührt.

Tangentialebene

Die Tangentialebene an die Kugel mit Mittelpunkt M ( a | b | c ) MathType@MTEF@&#053&#059;@&#053&#059;@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gz

Erklärvideos

• Kugeln im Raum – Analytische Geometrie