Differentialgleichungen

Aufgaben mit Lösungsweg

1. Temperatur nach gewisser Zeit: Eine Tasse Kaffee kühlt sich allmählich auf die konstante Umgebungstemperatur $a = 21 \ \text{(°C)}$ ab. Dabei wird seine Temperatur (in °C) zu jedem Zeitpunkt $t$ (in min) durch die Funktion $f(t)$ beschrieben. a) Besti
2. Zerfallszeitpunkt bestimmen: Die chemische Verbindung „Chemicum“ zerfällt beim Erhitzen innerhalb kurzer Zeit. Zu Beginn ($t=0$) eines Versuchs beträgt die Probemasse an Chemicum $1 \text{ g}$. Die zum Zeitpunkt $t \geq 0$ (in Minuten) verbliebene M
3. DGL - Lösung prüfen: Ist die Funktion $f(x) = e^{-\frac{1}{2x^2}}$ eine Lösung der Differentialgleichung $x^3 \cdot f'(x) - f(x) = 0$?
4. CO₂-Anteil nach 10 Minuten: Die Luft eines Raumes enthält beim Einschalten der Lüftungsanlage einen Volumenanteil von $0,4\%$ CO$_2$. Die Lüftung saugt die Luft des Raumes ab und führt in gleichem Maße Außenluft mit einem CO$_2$-Anteil von $0,04\%$
5. Anfangswertproblem lösen: Gegeben ist folgendes Anfangswertproblem: $f'(x) = 6x^2 + 1$; $f(1) = 6$ Was ist $f(2)$?
6. Homogene DGL 1. Ordnung erkennen: Homogene lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung werden durch „Trennung der Veränderlichen“ gelöst. Welche der folgenden Gleichungen ist eine solche?

Wichtige Begriffe

Lineare Differentialgleichung

1) Differentialgleichung 1. Ordnung Eine Differentialgleichung 1. Ordnung heißt linear , wenn sie in der Form f ' + r · f = a ( x ) MathType@MTEF@&#053&#059;@&#0

Homogene lineare Differentialgleichung

1) Differentialgleichung 1. Ordnung Eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung f ' + r · f = a ( x ) MathType@MTEF@&#053&#059;@5@+= feaagKart1e

Inhomogene lineare Differentialgleichung

1) Differentialgleichung 1. Ordnung Eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung f ' + r · f = a ( x ) MathType@MTEF@&#053&#059;@5@+= feaagKart1e

Allgemeine Lösung einer DGL

Bei einer Differentialgleichung nennt man die Funktion, welche alle Lösungen dieser Differentialgleichung beinhaltet, die allgemeine Lösung oder die allgemeine Lösungsfunktion dieser Differentialgleic

Anfangswertproblem

1) Differentialgleichung 1. Ordnung Bei einem Anfangswertproblem ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung und zusätzlich ein Funktionswert f ( x 0 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1e

Differerentialgleichung

Gleichungen, in denen die funktion selbst und eine oder mehrere Ableitungen dieser Funktion auftreten, heißen Differentialgleichungen oder Differenzialgleichungen (kurz DGL). Beispiel für eine DGL: f

Differerentialgleichungen 1.Ordnung

Eine Differentialgleichung heißt Differentialgleichung 1. Ordnung , wenn in der Differentialgleichung die erste Ableitung der unbekannten Funktion auftaucht, aber keine höhere Ableitung. Beispiele: a)

Differerentialgleichungen 2.Ordnung

Eine Differentialgleichung heißt Differentialgleichung 2. Ordnung , wenn in der Differentialgleichung die zweite Ableitung der unbekannten Funktion auftaucht, aber keine höhere Ableitung. Beispiele: a

Explizite DGL

Eine Differentialgleichung heißt explizit (oder in expliziter Form), wenn sie nach der höchsten vorkommenden Ableitung aufgelöst ist. Beispiel 1: f ' ' ' = 4 x ³ – f ' MathType@MTEF@5@5@+= fe

Implizite DGL

Eine Differentialgleichung heißt implizit (oder in impliziter Form), wenn sie nicht nach der höchsten vorkommenden Ableitung aufgelöst ist. Beispiele: a) f ' = 4 x ³ – f ' ' MathType@MT

Randwertproblem

Bei einem Randwertproblem sind neben einer Differentialgleichung 2. Ordnung zusätzlich an zwei verschiedenen Stellen x 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2

Trennung der Veränderlichen, Separationsmethode

Trennung der Veränderlichen (auch Trennung der Variablen oder Separationsmethode genannt) ist ein Lösungsverfahren, mit dem sich viele Differentialgleichungen 1. Ordnung wie folgt lösen lassen: 1) Sch

Variation der Konstanten

Variation der Konstanten ist ein Lösungsverfahren, mit dem sich inhomogene lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung f ' + r ⋅ f = a(x) MathType@MTEF@5@5@&#043