Zweite Ableitung

Die zweite Ableitung hilft dir zu verstehen, wie sich die Steigung einer Kurve verändert. Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad an einer gekrümmten Linie entlang: Die zweite Ableitung verrät dir, ob du dein Lenkrad nach links oder nach rechts einschlagen musst (die sogenannte Krümmung ). Sie ist das perfekte Werkzeug, um Wendestellen und die genaue Art von Extremstellen (Hoch- oder Tiefpunkte) zu bestimmen. Ist f(x) die Ausgangsfunktion, so ist f'(x) (gesprochen: „f Strich von x“) die erste Ableitung. Leitet man diese noch einmal ab, erhält man die zweite Ableitung f''(x) (gesprochen: „f Zwei-Strich von x“). text{Funktion } f(x) quad xrightarrow{ text{ableiten}} quad text{Steigung } f'(x) quad xrightarrow{ text{ableiten}} quad text{Krümmung } f''(x) Linkskurve (positive Krümmung): f''(x) 0 rightarrow Die Kurve beschreibt eine Linkskurve (wie ein lachender Smiley smile ). Rechtskurve (negative Krümmung): f''(x) Bestimmung der Krümmung an einer Stelle Gegeben ist die Funktion f(x) = x^3 - 3x . Wir wollen wissen, wie die Kurve an der Stelle x = 2 gekrümmt ist. Schritt 1: Erste Ableitung bilden. f'(x) = 3x^2 - 3 Schritt 2: Zweite Ableitung bilden (wir leiten f'(x) einfach noch einmal ab). f''(x) = 6x Schritt 3: Den Wert x = 2 in die zweite Ableitung einsetzen. f''(2) = 6 cdot 2 = 12 Da 12 0 ist (also positiv), macht der Graph an der Stelle x = 2 eine Linkskurve . Hochpunkt oder Tiefpunkt? (Das Krümmungskriterium) Wir wissen bereits, dass die Funktion f(x) = x^2 - 4x + 3 bei x