Abstand Punkt-Gerade als Extremwert

Es gibt verschiedene Versionen, wie man den Abstand eines Punktes zu einer Geraden bestimmt. Der Grundgedanke aller Versionen ist es, die kürzeste Verbindung zwischen Punkt und Gerade zu finden, denn die Länge dieser kürzesten Verbindung ist auch gleichzeitig der Abstand. Dabei verläuft diese Verbindung dann auch im rechten Winkel zur Geraden. Wir werden nun eine Funktion erstellen, die uns für jedes t den Abstand angeben kann. Dabei versuchen wir dasjenige t zu finden, dass den Punkt P t angibt, der mit dem kürzesten Abstand zum Punkt Q liegt. Sprich, das Minimum dieser Funktion. :abstand-g-p-orthogonal Hinweis: ich rate von dieser Methode ab. Wer sie trotzdem benutzen möchte oder muss, bitte schön :) Gegeben ist eine Gerade in der Form g: vec{x}= vec{p}+t cdot vec{u} und ein Punkt Q left( begin{array}{ccc} q 1 & q 2 & q 3 end{array} right) Schritt 1: Gerade als parametrisierten Punkt umschreiben P t left( begin{array}{ccc} p 1+t cdot u 1 & p 2+t cdot u 2 & p 3+t cdot u 3 end{array} right) Schritt 2: P t und Q verbinden: vec{P t Q}= left( begin{array}{l} q 1- left( p 1+t cdot u 1 right) q 2- left( p 2+t cdot u 2 right) q 3- left( p 3+t cdot u 3 right) end{array} right) Schritt 3: Abstandsfunktion erstellen text{d}(t)= left| vec{P t Q} right|= sqrt{ left[ q 1- left( p 1+t cdot u 1 right) right]^2+ left[ q 2- left( p 2+t cdot u 2 right) right]^2+ left[ q 3- left( p 3+t cdot u 3 right) right]^2} Schritt 4: Mittels Extremwertberechnung das t bestimmen. Bedingung für Extremstelle