Abstand Punkt-Ebene (HNF)

Worum geht's hier eigentlich? Wir wollen den kürzesten Abstand zwischen einem Punkt P und einer Ebene E im dreidimensionalen Raum finden. Stell dir vor, die Ebene ist der Boden und der Punkt ist ein kleiner Ball, der darüber schwebt. Der Abstand ist dann die Länge der Schnur, die senkrecht vom Ball zum Boden gespannt ist. Die Hess'sche Normalform (HNF) ist unser perfektes Werkzeug dafür, weil sie uns eine direkte Formel an die Hand gibt, um diesen Abstand ohne Umwege zu berechnen. Um den Abstand direkt zu bekommen, nutzen wir folgende Formel, die sich aus der Hess'schen Normalform ableitet: d ( E , P ) = | n 1 ⋅ p 1 + n 2 ⋅ p 2 + n 3 ⋅ p 3 − b | | n → | MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeaaaaaaaaa8 qacaqGKbWaaeWaa8aabaWdbiaadweacaGGSaGaaiiuaaGaayjkaiaa wMcaaiabg2da9maalaaapaqaa8qadaabdaWdaeaapeGaamOBa8aada WgaaWcbaWdbiaaigdaa8aabeaak8qacqGHflY1caWGWbWdamaaBaaa leaapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbiabgUcaRiaad6gapaWaaSbaaSqaa8 qacaaIYaaapaqabaGcpeGaeyyXICTaamiCa8aadaWgaaWcbaWdbiaa ikdaa8aabeaak8qacqGHRaWkcaWGUbWdamaaBaaaleaapeGaaG4maa WdaeqaaOWdbiabgwSixlaadchapaWaaSbaaSqaa8qacaaIZaaapaqa baGcpeGaeyOeI0IaamOyaaGaay5bSlaawIa7aaWdaeaapeWaaqWaa8 aabaWdbiqad6gapaGbaSaaa8qacaGLhWUaayjcSdaaaaaa@5B3C@ Dabei ist E die Ebene in der Koordinatenform n 1