Abstand Geraden-Gerade (windschief)

Es geht darum, den kürzesten Abstand zwischen zwei Geraden im dreidimensionalen Raum zu finden, die windschief zueinander sind. Windschief bedeutet, dass sie sich weder schneiden noch parallel sind – sie verlaufen quasi aneinander vorbei. Stell dir zwei Kondensstreifen von Flugzeugen am Himmel vor, die sich auf unterschiedlichen Höhen und in unterschiedliche Richtungen bewegen. Der Abstand, den wir suchen, ist die Länge der kürzesten denkbaren Verbindungsstrecke zwischen diesen beiden Flugbahnen. Genau diese kürzeste Verbindung steht senkrecht auf beiden Geraden. Es gibt zwei gängige Wege, um den Abstand zu berechnen. Wir schauen uns beide an. Gegeben sind zwei windschiefe Geraden: g: vec{x} = vec{p} + t cdot vec{u} quad , quad h: vec{x} = vec{q} + s cdot vec{v} Methode 1: Die Formel über die Hesse'sche Normalform Diese Methode ist oft der schnellste Weg, wenn nur der Abstand d gefragt ist. Der Grundgedanke ist, eine Hilfsebene zu erstellen, die eine Gerade enthält und parallel zur anderen ist. Der Abstand der zweiten Geraden zu dieser Ebene ist dann der gesuchte Abstand. Das führt uns direkt zur Formel: d = frac{ left| ( vec{p} - vec{q} ) cdot vec{n} right| }{ left| vec{n} right| } Dabei gilt: vec{p} und vec{q} sind die Stützvektoren (also die Aufpunkte) der beiden Geraden. vec{u} und vec{v} sind die Richtungsvektoren der Geraden. vec{n} = vec{u} times vec{v} ist ein Normalenvektor , der senkrecht auf beiden Richtungsvektoren steht. Wir erhalten ihn durch das Kreuzprodukt. (