Abstand Allgemeiner Punkt - Ebene

Manchmal sucht man Punkte, die von einer Ebene einen ganz bestimmten Abstand d haben. Es geht also darum, einen oder mehrere spezielle Punkte zu finden. Genauer gesagt suchen wir Punkte, die nicht nur auf einer gegebenen Geraden liegen, sondern gleichzeitig auch einen festen, vorgegebenen Abstand zu einer Ebene haben. Das ist eine typische Problemstellung, bei der wir zwei Bedingungen – die Geradengleichung und die Abstandsbedingung – miteinander verknüpfen. Meistens gibt es zwei solcher Punkte, wie die Abbildung zeigt. Der Plan ist, einen allgemeinen Punkt der Geraden aufzustellen und dessen Abstand zur Ebene zu berechnen. Dieser Abstand hängt dann vom Geradenparameter t ab. Setzen wir diesen Abstand gleich dem geforderten Wert, erhalten wir eine Gleichung, mit der wir t bestimmen können. Wir benutzen die Hess’sche Normalform (Abstandsformel), um den Abstand d eines Punktes P( vec{p}) von einer Ebene E: vec{n} cdot vec{x} - b = 0 zu berechnen: d(E,P) = frac{| vec{n} cdot vec{p} - b|}{| vec{n}|} = frac{|n 1 p 1 + n 2 p 2 + n 3 p 3 - b|}{ sqrt{n 1^2 + n 2^2 + n 3^2}} Der entscheidende Trick ist nun, keinen festen Punkt P zu verwenden, sondern einen allgemeinen Punkt P t von der Geraden g: vec{x} = vec{a} + t cdot vec{u} . Die Koordinaten dieses Punktes hängen vom Parameter t ab: P t(a 1+t cdot u 1 | a 2+t cdot u 2 | a 3+t cdot u 3) Indem wir die Koordinaten von P t in die Abstandsformel einsetzen, erhalten wir eine Formel für den Abstand, die nur noch von t abhängt. Diesen Aus